std::sph_legendre, std::sph_legendref, std::sph_legendrel

 

C++

编译器支持

自立实现与有宿主实现

语言

标准库

标准库标头

具名要求

功能特性测试宏 (C++20)

语言支持库

概念库 (C++20)

诊断库

内存管理库

元编程库 (C++11)

通用工具库

容器库

迭代器库

范围库 (C++20)

算法库

字符串库

文本处理库

数值库

日期和时间库

输入/输出库

文件系统库 (C++17)

并发支持库 (C++11)

执行控制库 (C++26)

技术规范

符号索引

外部库

 

数值库

常用数学函数
数学特殊函数 (C++17)
数学常数 (C++20)
基本线性代数算法 (C++26)
数据并行类型（SIMD） (C++26)
浮点数环境 (C++11)
复数
数值数组 (valarray)
伪随机数生成
位操纵 (C++20)
饱和算术 (C++26)
因数运算
gcd (C++17)	lcm (C++17)
插值
midpoint (C++20)	lerp (C++20)
泛型算术运算
iota (C++11) ranges::iota (C++23) accumulate inner_product adjacent_difference    partial_sum	reduce (C++17) transform_reduce (C++17) inclusive_scan (C++17) exclusive_scan (C++17) transform_inclusive_scan (C++17) transform_exclusive_scan (C++17)
C 风格带检查整数算术
ckd_add (C++26) ckd_sub (C++26)	ckd_mul (C++26)

 

数学特殊函数

assoc_laguerreassoc_laguerrefassoc_laguerrel  assoc_legendreassoc_legendrefassoc_legendrel betabetafbetal comp_ellint_1comp_ellint_1fcomp_ellint_1l comp_ellint_2comp_ellint_2fcomp_ellint_2l comp_ellint_3comp_ellint_3fcomp_ellint_3l cyl_bessel_icyl_bessel_ifcyl_bessel_il

cyl_bessel_jcyl_bessel_jfcyl_bessel_jl  cyl_bessel_kcyl_bessel_kfcyl_bessel_kl cyl_neumanncyl_neumannfcyl_neumannl ellint_1ellint_1fellint_1l ellint_2ellint_2fellint_2l ellint_3ellint_3fellint_3l expintexpintfexpintl

hermitehermitefhermitel laguerrelaguerreflaguerrel legendrelegendreflegendrel riemann_zetariemann_zetafriemann_zetal sph_besselsph_besselfsph_bessell sph_legendresph_legendrefsph_legendrel sph_neumannsph_neumannfsph_neumannl

 

在标头 <cmath> 定义
	(1)
float sph_legendre ( unsigned l, unsigned m, float theta ); double sph_legendre ( unsigned l, unsigned m, double theta ); long double sph_legendre ( unsigned l, unsigned m, long double theta );			(C++17 起) (C++23 前)
/* 浮点数类型 */ sph_legendre( unsigned l, unsigned m, /* 浮点数类型 */ theta );			(C++23 起)
float sph_legendref( unsigned l, unsigned m, float theta );	(2)	(C++17 起)
long double sph_legendrel( unsigned l, unsigned m, long double theta );	(3)	(C++17 起)
额外重载
在标头 <cmath> 定义
template< class Integer > double sph_legendre ( unsigned l, unsigned m, Integer theta );	(A)	(C++17 起)

1-3) 计算 l 次、m 阶和极角 theta 的球关联勒让德函数。标准库提供所有以无 cv 限定的浮点数类型作为形参 theta 的类型的 std::sph_legendre 重载。(C++23 起)

A) 为所有整数类型提供额外重载，将它们当做 double。

参数

l	-	次数
m	-	阶数
theta	-	极角，以弧度度量

返回值

如果没有发生错误，那么返回 l、m 和 theta 的球关联勒让德函数（即 ϕ = 0 下的球谐函数）的值，其中球谐函数定义为

Ym
l(theta,ϕ) = (-1)m
[

(2l+1)(l-m)!

4π(l+m)!

]1/2
Pm
l(cos(theta))eimϕ

，其中 Pm
l(x) 是 std::assoc_legendre(l, m, x)) 且 |m|≤l。

注意此函数定义包含 Condon-Shortley 相位项 (-1)m
，因为以 std::assoc_legendre 定义的 Pm
l 忽略了它。

错误处理

可能报告 math_errhandling 中指定的错误。

• 如果实参是 NaN，那么返回 NaN 且不报告定义域错误
• 如果 l≥128，那么行为由实现定义

注解

不支持 C++17，但支持 ISO 29124:2010 的实现在定义了 __STDCPP_MATH_SPEC_FUNCS__ 为至少 201003L 的值，且用户在包含任何标准库头文件前定义了 __STDCPP_WANT_MATH_SPEC_FUNCS__ 时也会提供此函数。

不支持 ISO 29124:2010 但支持 TR 19768:2007 (TR1) 的实现也会在标头 tr1/cmath 及命名空间 std::tr1 中提供此函数。

球谐函数的一种实现参考 boost.math，且它在以设为零的参数 phi 调用时规约到此函数。

额外重载不需要严格以 (A) 的形式提供。它们只需要能够对它们的整数类型实参 num 确保 std::sph_legendre(int_num1, int_num2, num) 和 std::sph_legendre(int_num1, int_num2, static_cast<double>(num)) 的效果相同即可。

示例

运行此代码

#include <cmath>
#include <iostream>
#include <numbers>

int main()
{
    // 对于 l=3, m=0 的点检查
    double x = 1.2345;
    std::cout << "Y_3^0(" << x << ") = " << std::sph_legendre(3, 0, x) << '\n';

    // 准确解
    std::cout << "准确解 = "
              << 0.25 * std::sqrt(7 / std::numbers::pi)
                  * (5 * std::pow(std::cos(x), 3) - 3 * std::cos(x))
              << '\n';
}

输出：

Y_3^0(1.2345) = -0.302387
准确解 = -0.302387

参阅

assoc_legendreassoc_legendrefassoc_legendrel (C++17)(C++17)(C++17)

连带勒让德多项式 (函数)

外部链接

Weisstein, Eric W. “球谐”来自 MathWorld--A Wolfram Web Resource。