std::cyl_neumann, std::cyl_neumannf, std::cyl_neumannl

 

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gcd (C++17)	lcm (C++17)
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midpoint (C++20)	lerp (C++20)
泛型算术运算
iota (C++11) ranges::iota (C++23) accumulate inner_product adjacent_difference    partial_sum	reduce (C++17) transform_reduce (C++17) inclusive_scan (C++17) exclusive_scan (C++17) transform_inclusive_scan (C++17) transform_exclusive_scan (C++17)
C 风格带检查整数算术
ckd_add (C++26) ckd_sub (C++26)	ckd_mul (C++26)

 

数学特殊函数

assoc_laguerreassoc_laguerrefassoc_laguerrel  assoc_legendreassoc_legendrefassoc_legendrel betabetafbetal comp_ellint_1comp_ellint_1fcomp_ellint_1l comp_ellint_2comp_ellint_2fcomp_ellint_2l comp_ellint_3comp_ellint_3fcomp_ellint_3l cyl_bessel_icyl_bessel_ifcyl_bessel_il

cyl_bessel_jcyl_bessel_jfcyl_bessel_jl  cyl_bessel_kcyl_bessel_kfcyl_bessel_kl cyl_neumanncyl_neumannfcyl_neumannl ellint_1ellint_1fellint_1l ellint_2ellint_2fellint_2l ellint_3ellint_3fellint_3l expintexpintfexpintl

hermitehermitefhermitel laguerrelaguerreflaguerrel legendrelegendreflegendrel riemann_zetariemann_zetafriemann_zetal sph_besselsph_besselfsph_bessell sph_legendresph_legendrefsph_legendrel sph_neumannsph_neumannfsph_neumannl

 

在标头 <cmath> 定义
float cyl_neumann ( float nu, float x ); double cyl_neumann ( double nu, double x ); long double cyl_neumann ( long double nu, long double x );	(1)	(C++17 起) (C++23 前)
/* 浮点数类型 */ cyl_neumann( /* 浮点数类型 */ nu, /* 浮点数类型 */ x );			(C++23 起)
float cyl_neumannf( float nu, float x );	(2)	(C++17 起)
long double cyl_neumannl( long double nu, long double x );	(3)	(C++17 起)
额外重载
在标头 <cmath> 定义
template< class Arithmetic1, class Arithmetic2 > /* 公共浮点数类型 */ cyl_neumann( Arithmetic1 nu, Arithmetic2 x );	(A)	(C++17 起)

1-3) 计算 nu 和 x 的柱诺依曼函数（也称为第二类贝塞尔函数或 Weber 函数）。标准库提供所有以无 cv 限定的浮点数类型作为形参 nu 和 x 的类型的 std::cyl_neumann 重载。(C++23 起)

A) 为算术类型的所有其他组合提供额外重载。

参数

nu	-	函数的阶数
x	-	函数的实参

返回值

如果没有发生错误，那么返回 nu 和 x 的柱诺依曼函数（第二类贝塞尔函数）的值，即对于 x≥0 和非整数 nu 的

Nnu(x) =

Jnu(x)cos(nuπ)-J-nu(x)

sin(nuπ)

（其中 Jnu(x) 是 std::cyl_bessel_j(nu, x)）；对整数 nu 使用极限。

错误处理

可能报告 math_errhandling 中指定的错误

• 如果实参是 NaN，那么返回 NaN 且不报告定义域错误
• 如果 nu>=128，那么行为由实现定义

注解

不支持 C++17，但支持 ISO 29124:2010 的实现在定义了 __STDCPP_MATH_SPEC_FUNCS__ 为至少 201003L 的值，且用户在包含任何标准库头文件前定义了 __STDCPP_WANT_MATH_SPEC_FUNCS__ 时也会提供此函数。

不支持 ISO 29124:2010 但支持 TR 19768:2007 (TR1) 的实现也会在标头 tr1/cmath 及命名空间 std::tr1 中提供此函数。

此函数的一种实现参考 boost.math。

额外重载不需要严格以 (A) 的形式提供。它们只需要能够对它们的第一个实参 num1 和第二个实参 num2 满足以下要求即可：

如果 num1 或 num2 具有 long double 类型，那么 std::cyl_neumann(num1, num2) 和 std::cyl_neumann(static_cast<long double>(num1), static_cast<long double>(num2)) 的效果相同。 否则，如果 num1 和/或 num2 具有 double 或整数类型，那么 std::cyl_neumann(num1, num2) 和 std::cyl_neumann(static_cast<double>(num1), static_cast<double>(num2)) 的效果相同。 否则，如果 num1 或 num2 具有 float 类型，那么 std::cyl_neumann(num1, num2) 和 std::cyl_neumann(static_cast<float>(num1), static_cast<float>(num2)) 的效果相同。

(C++23 前)

如果 num1 和 num2 具有算术类型，那么 std::cyl_neumann(num1, num2) 和 std::cyl_neumann(static_cast</* 公共浮点数类型 */>(num1), static_cast</* 公共浮点数类型 */>(num2)) 的效果相同，其中 /* 公共浮点数类型 */ 是 num1 和 num2 的类型中浮点数转换等级和浮点数转换子等级最高的浮点数类型，整数类型的实参被视为具有与 double 相等的浮点数转换等级。 如果不存在等级和子等级最高的浮点数类型，那么在重载决议时不会从提供的重载中产生可用的候选。

(C++23 起)

示例

运行此代码

#include <cassert>
#include <cmath>
#include <iostream>
#include <numbers>
 
const double π = std::numbers::pi; // C++20 前使用 std::acos(-1)
 
// 要通过第一类柱贝塞尔函数来计算柱诺依曼函数，我们需要自己实现 J，
// 因为按照上文的公式直接调用 std::cyl_bessel_j(nu, x) 的话
// 在 nu 为负的情况下会引发 std::domain_error：__cyl_bessel_j 参数错误。
 
double J_neg(double nu, double x)
{
    return std::cos(-nu * π) * std::cyl_bessel_j(-nu, x)
          -std::sin(-nu * π) * std::cyl_neumann(-nu, x);
}
 
double J_pos(double nu, double x)
{
    return std::cyl_bessel_j(nu, x);
}
 
double J(double nu, double x)
{
    return nu < 0.0 ? J_neg(nu, x) : J_pos(nu, x);
}
 
int main()
{
    std::cout << "对 nu == 0.5 点检查\n" << std::fixed << std::showpos;
    const double nu = 0.5;
    for (double x = 0.0; x <= 2.0; x += 0.333)
    {
        const double n = std::cyl_neumann(nu, x);
        const double j = (J(nu, x) * std::cos(nu * π) - J(-nu, x)) / std::sin(nu * π);
        std::cout << "N_.5(" << x << ") = " << n << "，通过 J 计算 = " << j << '\n';
        assert(n == j);
    }
}

输出：

对 nu == 0.5 点检查
N_.5(+0.000000) = -inf，通过 J 计算 = -inf
N_.5(+0.333000) = -1.306713，通过 J 计算 = -1.306713
N_.5(+0.666000) = -0.768760，通过 J 计算 = -0.768760
N_.5(+0.999000) = -0.431986，通过 J 计算 = -0.431986
N_.5(+1.332000) = -0.163524，通过 J 计算 = -0.163524
N_.5(+1.665000) = +0.058165，通过 J 计算 = +0.058165
N_.5(+1.998000) = +0.233876，通过 J 计算 = +0.233876

参阅

cyl_bessel_icyl_bessel_ifcyl_bessel_il (C++17)(C++17)(C++17)	规则变形圆柱贝塞尔函数 (函数)
cyl_bessel_jcyl_bessel_jfcyl_bessel_jl (C++17)(C++17)(C++17)	（第一类）圆柱贝塞尔函数 (函数)
cyl_bessel_kcyl_bessel_kfcyl_bessel_kl (C++17)(C++17)(C++17)	不规则变形圆柱贝塞尔函数 (函数)

外部链接

Weisstein, Eric W. “第二类贝塞尔函数”来自 MathWorld--A Wolfram Web Resource。